Question

【題目】如圖，菱形與等邊所在平面互相垂直，，，分別是線段，的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）如圖，取線段的中點，連接，根據題意證明四邊形為平行四邊形，然后根據線面平行的判定定理進行判定即可；

（Ⅱ）如圖，在等邊中，取線段中點，連接，以所在直線為軸，過點作的平行線為軸，所在直線為軸建立如圖坐標系．然后分別找到平面和平面的一個法向量，根據法向量求二面角的余弦值即可．

（Ⅰ）如圖，取線段的中點，連接，是線段的中點，

則且．

在菱形中為線段中點，則且，

則且，故四邊形為平行四邊形，

所以．

又因為平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）如圖，在等邊中，取線段中點，連接，則，

因為平面平面，且平面平面，

所以平面，

以所在直線為軸，過點作的平行線為軸，所在直線為軸建立如圖坐標系．

設，則，，，

所以，，

設平面的法向量為，則，

令，得平面的一個法向量為，

由題知平面的一個法向量為，

，

所以二面的余弦值為．