Question

【題目】如圖，已知正四面體的棱長為2，是棱上一動點，若于，則線段的長度的最小值是______

Answer 1

【答案】

【解析】

取的中點為，取的中點為，連接，在上取一點，使得，取的中點為，連接，則平面，則點在以點為球心、為直徑的球面上，且軌跡是以點為圓心的一段圓弧，結合幾何知識即可求出答案．

解：∵，

∴點在以為直徑的球面上，取的中點為，

∵點在中，

由于一個平面截一個球所得的是一個圓面，

∴點的軌跡為一段圓弧，

取的中點為，連接，在上取一點，使得，

在等邊中，易得點為的中心，

∴在正四面體中，易得平面，

取的中點為，連接，則，則平面，

由于一個平面截一個球所得的是一個圓面，且球心與這個圓的圓心所在直線與該平面垂直，

∴點的軌跡是以點為圓心的一段圓弧，

又，∴球的半徑為，

在中，，，

∴，則，

∴，

∴，

∴圓的半徑，

而，

∴，

故答案為：．