Question

已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）若，求k的取值范圍.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）(－∞，0].

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、不等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力，考查學(xué)生的函數(shù)思想.第一問，先將轉(zhuǎn)化為，先得到表達(dá)式，對(duì)求導(dǎo)，利用“單調(diào)遞增；單調(diào)遞減”解不等式求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性確定最小值所在的位置；第二問，將轉(zhuǎn)化為，令F(x)＝f(x)－g(x)對(duì)f(x)求導(dǎo)，由于的正負(fù)不明顯，所以進(jìn)行二次求導(dǎo)，二次求導(dǎo)后得到G¢(x)＝e^x－k，只需討論k的正負(fù)，通過的單調(diào)性，求出的最值，來判斷的正負(fù)，來判斷的單調(diào)性，從而求的最值.
（1）當(dāng)k＝1時(shí)，設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)＋＝e^x－x－1，h¢(x)＝e^x－1． 1分
當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，h¢(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h¢(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增．
所以h(x)≥h(0)＝0．
故f(x)≥g(x)－．           4分
（2）設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)＝e^x－x²－x－1，則F¢(x)＝e^x－kx－1．
設(shè)G(x)＝e^x－kx－1，則G¢(x)＝e^x－k．       6分
（1）若k≤0時(shí)，則G¢(x)＞0，G(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，G(x)＜G(0)＝0，即F¢(x)＜0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，G(x)＞G(0)＝0，即F¢(x)＞0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增．
故F(x)≥F(0)＝0，此時(shí)f(x)≥g(x)．       9分
（2）若k＞0，則
當(dāng)x∈(－∞，－)時(shí)，e^x－1＜0，－x²－x＝－x(kx＋2)＜0，
從而F(x)＝e^x－1－x²－x＜0，這時(shí)f(x)≥g(x)不成立．   11分
綜上，k的取值范圍是(－∞，0]．        12分