Question

（14分）（2011•廣東）設a＞0，討論函數f（x）=lnx+a（1﹣a）x²﹣2（1﹣a）x的單調性．

Answer 1

見解析

試題分析：求出函數的定義域，求出導函數，設g（x）=2a（1﹣a）x²﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），討論a=1，a＞1與0＜a＜1三種情形，然后利用函數的單調性與導函數符號的關系求出單調性．
解：定義域{x|x＞0}
f′（x）==
設g（x）=2a（1﹣a）x²﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，則g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函數．
②若a＞1則2a（1﹣a）＜0，g（x）的圖象開口向下，
此時△=[﹣2（1﹣a）]²﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0
方程2a（1﹣a）x²﹣2（1﹣a）x+1=0有兩個不等的實根
不等的實根為x₁=，x₂=
且x₁＜0＜x₂
∴在（0，）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數；
在（，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數；
③若0＜a＜1則2a（1﹣a）＞0，g（x）的圖象開口向上，
此時△=[﹣2（1﹣a）]²﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）
可知當≤a＜1時，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函數；
當0＜a＜時，△＞0，方程2a（1﹣a）x²﹣2（1﹣a）x+1=0有兩個不等的實根
不等的實根滿足＞＞0
故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數；
在（，）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數．
點評：本題考查利用導函數討論函數的單調性：導函數為正函數遞增；導函數為負，函數遞減，同時考查了分類討論的數學思想方法，屬于難題．