Question

下圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖．

（1）若為的中點，求證：面；
（2）證明面.
（3）求該幾何體的體積．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

試題分析：由三視圖可知底面是邊長為4的正方形，，，∥，且。（1）根據等腰三角形中線即為高線可證得，根據，且為正方形可證得，即可證得，根據線面垂直的判定定理可得。（2）取的中點, 與的交點為，可證得四邊形平行四邊形，即可證得∥，根據線面平行的定義即可證得面。（3）用分割法求體積，即將此幾何體分割成以為頂點的一個四棱錐和一個三棱錐。
試題解析：解：（1）由幾何體的三視圖可知，底面是邊長為4的正方形,
而且,∥，，．
取的中點，如圖所示.
∵,∴，
又∵，∴面,
∴．又,
∴面．               5分
（2）如圖

取的中點, 與的交點為，
連結、，如圖所示.
∴，∥，∴，∥，
∴四邊形為平行四邊形，
∴∥，又面, ∴∥面，
∴面．              9分
（3）.          13分