Question

過點M（0，1）作直線，使它被直線l₁:x-3y+10=0和l₂:2x+y-8=0所截得的線段恰好被M平分，求此直線方程.

Answer 1

直線方程為x+4y-4=0

方法一 過點M且與x軸垂直的直線是y軸，它和兩已知直線的交點分別是和(0,8)，顯然不滿足中點是點
M（0，1）的條件.
故可設所求直線方程為y=kx+1,與已知兩直線l₁,l₂分別交于A、B兩點，聯立方程組
                                                   ①
                                                      ②
由①解得x_A=,由②解得x_B=.          
∵點M平分線段AB，
∴x_A+x_B=2x_M，即+=0.
解得k=-，故所求直線方程為x+4y-4=0.
方法二 設所求直線與已知直線l₁,l₂分別交于A、B兩點.
∵點B在直線l₂:2x+y-8=0上，
故可設B（t,8-2t）,M(0,1)是AB的中點.
由中點坐標公式得A(-t,2t-6).
∵A點在直線l₁:x-3y+10=0上，
∴（-t）-3（2t-6）+10=0，解得t=4.
∴B（4，0），A（-4，2），故所求直線方程為x+4y-4=0.