Question

已知拋物線C:y²=2px(p>0)過點(diǎn)A(1,-2).
(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程.
(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

Answer 1

(1) 拋物線C的方程為y²=4x  準(zhǔn)線方程為x=-1.   (2) 存在,其方程為2x+y-1=0

解析解:(1)將(1,-2)代入y²=2px,得(-2)²=2p·1,
所以p=2.
故所求的拋物線C的方程為y²=4x,
其準(zhǔn)線方程為x=-1.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t.
由得y²+2y-2t=0.
因為直線l與拋物線C有公共點(diǎn),
所以Δ=4+8t≥0,
解得t≥-.
另一方面,由直線OA與l的距離d=可得=,
解得t=±1.
因為-1∉,1∈,
所以符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.