Question

已知，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．  
（1）求直線的方程及的值；
（2）若（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)的最大值；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：．

Answer 1

（1），m=-2
（2）取得最大值
（3）由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，，即，結(jié)合單調(diào)性來證明。

試題分析：解：（Ⅰ）依題意知：直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，故其斜率
，所以直線的方程為．又因?yàn)橹本�與的圖像相切，所以由
，
得（不合題意，舍去）； .  4分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240201402151011.png" style="vertical-align:middle;" />（），所以
．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值； .  8分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，．由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，，即．因此，有． .  12分
點(diǎn)評：主要是考查了函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。