Question

已知函數（是不為零的實數，為自然對數的底數）.
（1）若曲線與有公共點，且在它們的某一公共點處有共同的切線，求k的值；
（2）若函數在區間內單調遞減，求此時k的取值范圍.

Answer 1

（1）．
（2）當時，函數在區間內單調遞減.

試題分析：（1）設曲線與有共同切線的公共點為，
則．     1分
又曲線與在點處有共同切線，
且，，  2分
∴，                      3分
解得 ．                           4分
（2）由得函數，
所以                     5分

．               6分
又由區間知，，解得，或．                     7分
①當時，由，得，即函數的單調減區間為，                      8分
要使得函數在區間內單調遞減，
則有                           9分
解得．                  10分
②當時，由，得，或，即函數的單調減區間為和，             11分
要使得函數在區間內單調遞減，
則有，或，                   12分
這兩個不等式組均無解.                        13分
綜上，當時，函數在區間內單調遞減.  14分
點評：難題，本題屬于導數內容中的基本問題，（1）運用“函數在某點的切線斜率，就是該點的導數值”，確定直線的斜率。通過研究導數值的正負情況，明確函數的單調區間。確定函數的最值，往往遵循“求導數，求駐點，計算極值、端點函數值，比較大小確定最值”。本題較難，主要是涉及參數K的分類討論，不易把握。