Question

如圖,已知橢圓C:+y²=1(a>1)的上頂點(diǎn)為A,離心率為,若不過點(diǎn)A的動直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),且·=0.

(1)求橢圓C的方程.
(2)求證:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo).

Answer 1

(1) +y²=1   (2)見解析

(1)依題意有⇒
故橢圓C的方程為:+y²=1.
(2)由·=0,知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直,由A(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-x+1(k≠0).
將y=kx+1代入橢圓C的方程+y²=1并整理得:(1+3k²)x²+6kx=0,
解得x=0或x=-,
因此P的坐標(biāo)為(-,-+1),
即(-,),
將上式中的k換成-,得Q(,).
直線l的方程為y=(x-)+,化簡得直線l的方程為y=x-,
因此直線l過定點(diǎn)N(0,-).