Question

（08年新建二中六模） 如圖，等腰直角△中，，平面，∥，.

（Ⅰ）求二面角的正弦值；

（Ⅱ）求點到平面的距離；

（Ⅲ）證明五點在同一個球面上，并求兩點的球面距離.

 

 

Answer 1

解析：方法一

（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的正弦值為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

故.

（Ⅲ）易證△為直角三角形，且，取的中點，則由四邊形是矩形知，故五點在以為球心，為直徑的球面上，故兩點之間的球面距離就是半個大圓的弧長，是

方法二

以點為坐標原點，以過垂直于的直線為軸，以所在直線為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示.

（Ⅰ）則，，

，，設

是平面的法向量，則有

，即，取，

 

得，易知平面的一個法向量為，，故所求角的正弦值為.

（Ⅱ），故點到平面的距離為.

（Ⅲ）易知的中點的坐標為，故，

而，故五點在以為球心，為直徑的球面上，故兩點之間的球面距離就是半個大圓的弧長，是