Question

【題目】設函數是定義在R上的函數，對任意實數x，有f（1﹣x）=x2﹣3x+3．

（1）求函數的解析式；

（2）若函數在g（x）=f（x）﹣（1+2m）x+1（m∈R）在上的最小值為﹣2，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=x2+x+1；（2）2.

【解析】

（1）令，則，利用換元法即可求解函數的解析式；

（2）結合（1）中的結論，分類討論求得函數的最值，即可求解結果．

解：（1）令1﹣x=t，則x=1﹣t，∴f（t）=（1﹣t）2﹣3（1﹣t）+3，

∴f（t）=t2+t+1，∴函數的解析式為f（x）=x2+x+1．

（2）g（x）=x2﹣2mx+2=（x﹣m）2+2﹣m2（）．

若 ，則g（x）min=g（m）=2﹣m2=﹣2，∴m=2．

若，則，∴，舍去．

綜上可知m=2．