Question

【題目】已知函數，若曲線（為自然對數的底數）上存在點使得，則實數的取值范圍為__________.

Answer 1

【答案】

【解析】結合函數的解析式： 可得： ，

令y′=0，解得：x=0，

當x>0時，y′>0，當x<0，y′<0，

則x∈（-∞，0），函數單調遞增，x∈（0，+∞）時，函數y單調遞減，

則當x=0時，取最大值，最大值為e，

∴y0的取值范圍（0，e]，

結合函數的解析式： 可得： ，

x∈（0，e），，

則f（x）在（0，e）單調遞增，

下面證明f（y0）=y0．

假設f（y0）=c>y0，則f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不滿足f（f（y0））=y0．

同理假設f（y0）=c<y0，則不滿足f（f（y0））=y0．

綜上可得：f（y0）=y0．

令函數．

設，求導，

當x∈（0，e），g′（x）>0，

g（x）在（0，e）單調遞增，

當x=e時取最大值，最大值為，

當x→0時，a→-∞，

∴a的取值范圍.