Question

【題目】若函數滿足（其中且）.

（1）求函數的解析式，并判斷其奇偶性和單調性；

（2）解關于的不等式.

Answer 1

【答案】　(1) 見解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)利用換元法可得函數的解析式為，結合函數的解析式可得函數f(x)為奇函數，然后分類討論確定函數的單調性即可；

(2)結合(1)中確定的函數的單調性和函數的奇偶性脫去f符號，得到不等式，求解不等式可得不等式的解集為.

試題解析：

　(1)令logax＝t(t∈R)，則x＝at，

∴f(t)＝ (at－a－t)．

∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．

∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數．

當a＞1時，y＝ax為增函數，y＝－a－x為增函數，且＞0，

∴f(x)為增函數．

當0＜a＜1時，y＝ax為減函數，y＝－a－x為減函數，且＜0，

∴f(x)為增函數．∴f(x)在R上為增函數．

(2)∵f(x)是R上的增函數且為奇函數，∴由得

∴

∴不等式的解集為.