Question

已知定義域為R的函數f(x)=

b- 2 x

2 x+1   +a

是奇函數
（1）a+b=

3

；
（2）若函數g(x)=f(

2x+1

)+f(k-x)有兩個零點，則k的取值范圍是

（-1，-

1

2

）

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 f（0）=0，且 f（-1）=-f（1），由此求得a和b的值，即可求得a+b的值．
（2）由題意可得 f(

2x+1

) = f(x-k) 有兩個解，即函數y=

2x+1

與函數 y=x-k有兩個交點，數形結合求得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵定義域為R的函數f(x)=

b- 2 x

2 x+1   +a

 時奇函數，
∴f（0）=0，且 f（-1）=-f（1），
即 b=2°=1，

b- 1 2

1+a

=-

b-2

4+a

，解得 a=2，b=1，故a+b=3．
故答案為 3．
（2）函數g(x)=f(

2x+1

)+f(k-x)有兩個零點，即f(

2x+1

) = -f(k-x) 有兩個解．
再由f（x）是奇函數，可得 f(

2x+1

) = f(x-k) 有兩個解，
故方程

2x+1

=（x-k）有兩個解，即函數y=

2x+1

與函數 y=x-k有兩個交點．
如圖所示：當直線 y=x-k過點A（-

1

2

，0）時，y=

2x+1

的圖象與 y=x-k的圖象有兩個交點，此時k=-

1

2

．
當y=

2x+1

與 y=x-k相切時，對于函數y=

2x+1

，令其導數為y′=

1

2x+1

=1，可得 x=0，此時，y=x-k與y=

2x+1

相切于點B（0，1），
把點B（0，1）代入 y=x-k可得 k=-1．
結合圖象可得，當-1＜k≤-

1

2

時，函數y=

2x+1

的圖象與函數 y=x-k的圖象有兩個交點，
故k的取值范圍是（-1，-

1

2

]．
故答案為 （-1，-

1

2

]．

點評：本題主要考查了奇函數的性質，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于基礎題．