Question

（12分）已知橢圓，直線l與橢圓交于A、B兩點，M是線段AB的中點，連接OM并延長交橢圓于點C．直線AB與直線OM的斜率分別為k、m，且．

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若直線AB經過橢圓的右焦點F，問：對于任意給定的不等于零的實數k，是否存在a∈，使得四邊形OACB是平行四邊形，請證明你的結論；

Answer 1

(1)
(2) 當且時，存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形；
當或時，不存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形

解：（Ⅰ）解法一：設，,，
則，兩式相減，得：，
又，，∴，
又∵，∴，∴…4分
解法二：設直線AB的方程為y=kx+n，代入橢圓方程得
 ，設，,，
則，∴，，
∴，又∴，∴       ……4分
（Ⅱ）設C(xC，yC)，直線AB的方程為y=k(x-c)(k≠0)，代入橢圓方程，
得，若OACB是平行四邊形，則，
∴，，
∵C在橢圓上 ∴∴，
∴，∴∴，
∵，a∈[2，+∞] ，∴，∴且，
∴當且時，存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形；
當或時，不存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形。……12分