Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，短軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線過且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

（1）
（2）

解：設(shè)橢圓方程為．---                         
由已知可得   
∴所求橢圓方程為-------------------------------------4分．                                   
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線的方程為，，，           
則，，
兩式相減得：．      
∵P是AB的中點(diǎn)，
∴，代入上式可得直線AB的斜率為，                       
∴直線的方程為．-----------------------------------------8分
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，將代入橢圓方程并解得，，這時(shí)AB的中點(diǎn)為，
∴不符合題設(shè)要求．----------------------------------10分
綜上，直線的方程為．-------------------------  12分