Question

【題目】設函數.

（1）若，求函數在處的切線方程；

（2）若函數在和處有兩個極值點，其中，.

（i）求實數的取值范圍；

（ii）若（e為自然對數的底數），求的最大值.

Answer 1

【答案】；（2）（i）；（ii）.

【解析】

（1）求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；

（2）（i）求得，從而可知方程在上有兩個不等的實根，可得出關于實數的不等式組，即可求得實數的取值范圍；

（ii）由題知、是兩個極值點，結合韋達定理，得到關于、的關系式，再用換元，構造關于的函數，求出函數的最大值．

（1）若，，，則，，

此時，函數在處的切線方程為，即；

（2）（i），，

由題意可知，關于的方程在上有兩個不等的實根，

所以，，解得.

因此，實數的取值范圍是；

（ii）由（i）得，，

，

令，則，令，其中.

，

所以，函數在上單調遞減，.

因此，當時，的最大值為.