Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在區間內是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；

（2）若函數有兩個極值點，，且，求證：．（注：為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）函數在區間上是單調遞增函數，，化為：，.利用二次函數的單調性即可得出.

（2）在區間上有兩個不相等的實數根，方程在區間上有兩個不相等的實數根.令，利用根的分布可得的范圍，再利用根與系數關系可得：，得，令.利用導數研究其單調性極值與最值即可得出.

（1）解：∵函數在區間上是單調遞增函數，

∴，化為：，，

令，則時取等號.

.

∴實數的取值范圍是；

（2）證明：在區間上有兩個不相等的實數根，

即方程在區間上有兩個不相等的實數根，

記，則，解得，

，

，

令，

，

記，

，

令在上單調遞增.

，

因此函數存在唯一零點，使得，

當；當時，，

而在單調遞減，在單調遞增，

而，

，

，

∴函數在上單調遞減，

，

可得：，

即.