Question

已知z₁，z₂∈C且|z₁|=4，|z₁-z₂|=5，|z₁+z₂|=5，則|z₂|=______．

Answer 1

已知z₁，z₂∈C且|z₁|=4，|z₁-z₂|=5，|z₁+z₂|=5，
∵|z₁|，|z₁+z₂|，|z₁-z₂|，|z₂|四個(gè)線段組成以|z₁|，|z₂|為鄰邊，
|z₁+z₂|，|z₁-z₂|為對(duì)角線的平行四邊形，設(shè)|OM|=|z₂|，|OP|=|z₁|，|ON|=|z₁+z₂|，則|MP|=|z₁-z₂|，
設(shè)MP∩ON=Q，在△OPQ中，由余弦定理可得 16=

25

4

+

25

4

-2×

5

2

×

5

2

 cos∠OQP，
解得 cos∠OQP=-

7

25

，∴cos∠OQM=

7

25

．
△OQM中，由余弦定理可得 |z2|2=

25

4

+

25

4

-2×

5

2

×

5

2

 cos∠OQM=9，
故|z₂|=3，
故答案為 3．