Question

已知動圓M經過點A（-2，0），且與圓C：（x-2）²+y²=32內切，
（1）求動圓圓心M的軌跡E的方程；
（2）求軌跡E上任意一點M（x，y）到定點B（1，0）的距離d的最小值，并求d取得最小值時的點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）依題意，不難得到|MA|+|MC|=4

2

，轉化為橢圓定義，求出動圓圓心M的軌跡E的方程．
（2）求軌跡E上任意一點M（x，y）到定點B（1，0）的距離d的表達式，轉化為二次函數最值問題即可．

解答：解：（1）依題意，動圓與定圓相內切，得|MA|+|MC|=4

2

，可知M到兩個定點A、C的距離的和為常數4

2

，并且常數大于|AC|，所以點M的軌跡為以A、C焦點的橢圓，可以求得a=2

2

，c=2，b=2，
所以曲線E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）解：d=|BM|=

(x-1)2+y2

=

(x-1)2+4(1- x2 8 )

=

1 2 (x-2)2+3

因為：-2

2

≤x≤2

2

，所以，當x=2時，d=

3

最小，
所以，dmin=

3

；M(2，±

2

)．

點評：本題考查圓與圓的位置關系，函數的最值問題，橢圓的定義，是中檔題．