Question

（1）求經過點P（-3，2

7

）和Q（-6

2

，-7）的雙曲線的標準方程；
（2）已知動圓M經過點A（3，0），且與直線l：x=-3相切，求動圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線的方程為mx²+ny²=1（mn＜0），根據題意建立關于m、n的方程組，解出m、n之值即可得到所求雙曲線的標準方程．
（2）根據直線與圓相切的性質，結合題意可得動點M到定點A和定直線l的距離相等，所以點M的軌跡是以A為焦點、直線l為準線拋物線，再利用拋物線的標準方程及基本概念，可算出動圓圓心M的軌跡方程．

解答：解：（1）設雙曲線的方程為mx²+ny²=1（mn＜0），
∵點（-7，6

2

）、（2

7

，3）在雙曲線上，
∴

m×(-3)2+n×(2 7 )2=1 m×(-6 2 )2+n×(-7)2=1

，解得

m=- 1 75 n= 1 25

，
由此可得所求雙曲線的標準方程為

y2

25

-

x2

75

=1．
（2）設動點M（x，y），
設⊙M與直線l：x=-3的切點為N，可得MN⊥l且|MA|=|MN|，
∴動點M到定點A和定直線l：x=-3的距離相等，
由拋物線的定義，可得點M的軌跡是以A（3，0）為焦點、x=-3為準線拋物線，
∴

p

2

=3，可得2p=12，拋物線的方程為y²=12x，即為動圓圓心M的軌跡方程．

點評：本題求滿足條件的雙曲線方程和動圓圓心的軌跡．著重考查了直線與圓的位置關系、拋物線的定義與標準方程和雙曲線標準方程的求法等知識，屬于中檔題．