Question

如圖，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面邊長AB＝2，側棱BB₁的長為4，過點B作B₁C的垂線交側棱CC₁于點E，交B₁C于點F，
（1）求證：A₁C⊥平面BDE；
（2）求A₁B與平面BDE所成角的正弦值。
（3）設F是CC₁上的動點(不包括端點C)，求證：△DBF是銳角三角形。

Answer 1

（1）見解析
（2）
(3)見解析

（1）證明：由正四棱柱性質知A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，A₁A⊥平面ABCD，
所以B₁C、AC分別是A₁C在平面CC₁B₁B、平面ABCD上的射影
∵ B₁C⊥BE, AC⊥BD, ∴A₁C⊥BE , A₁C⊥BD，   （2分）
∴ A₁C⊥平面BDE    (4分)。 （直接指出根據三垂線定理得“A₁C⊥BE , A₁C⊥BD”而推出結論的不扣分)
（2）解：以DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸，建立坐標系，則，，，∴，  (6分)
∴            (7分)
設A₁C平面BDE＝K，
由(1)可知，∠A₁BK為A₁B與平面BDE所成角，(8分)
∴      (9分)
(3)證明：設點F的坐標為（0, 2, z）(0<z≤4), 則，
又|DB|=，故△DBF是等腰三角形，要證明它為銳角三角形，只需證明其頂角∠DFB為銳角則可。               (11分)
由余弦定理得cos∠DFB=
∴∠DFB為銳角,             (13分)
即不論點F為CC₁上C點除外的任意一點, △DFB總是銳角三角形.(14分)
說明: 若沒有說明三角形為等腰三角形而只證明一個角是銳角,或只證明底角是銳角的“以偏概全”情況應扣2分）