Question

在直三棱柱中，∠ACB=90°,Ｍ是 的中點，Ｎ是的中點。
（１）求證：MN∥平面 ；
（２）求點到平面BMC的距離；
（３）求二面角­₁的大小。

Answer 1

（1）見解析   （2）    （３）-arctan

（1）如圖所示，取B₁C₁中點D，連結ND、A₁D
∴DN∥BB₁∥AA₁
又DN＝
∴四邊形A₁MND為平行四邊形。
∴MN∥A₁ D 又 MN 平面A₁B₁C₁  AD₁平面A₁B₁C₁
∴MN∥平面--------------------------4分
(2)因三棱柱為直三棱柱，∴C₁ C⊥BC，又∠ACB=90°
∴BC⊥平面A₁MC₁
在平面ACC₁ A₁中，過C₁作C₁H⊥CM，又BC⊥C₁H，故C₁H為C₁點到
平面BMC的距離。
在等腰三角形CMC₁中，C₁ C=2,CM=C₁M=
∴.--------------------------8分
(3)在平面ACC₁A₁上作CE⊥C₁M交C₁M于點E，A₁C₁于點F,則CE為BE在
平面ACC₁A₁上的射影，
∴BE⊥C₁M, ∴∠BEF為二面角B-C₁M-A的平面角,
在等腰三角形CMC₁中，CE=C₁H=,∴tan∠BEC=
∴∠BEC=arctan,∴∠BEF=-arctan
即二面角的大小為-arctan。--------------12分