Question

某公司建一座長方體倉庫，高為5米，占地面積為600平方米（如圖所示）中間以隔板隔開成三間，四周的造價(jià)為80元/平方米，中間的兩塊隔板的造價(jià)為40元/平方米，倉庫頂?shù)脑靸r(jià)為260元/平方米，其它造價(jià)，厚度等忽略不計(jì)．
（Ⅰ）試設(shè)計(jì)倉庫的長與寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)；
（Ⅱ）由于地形限制，該倉庫的寬不能超過15米，試設(shè)計(jì)倉庫的長與寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可以設(shè)寬為x米，長為米，總造價(jià)為y，根據(jù)題中的等量關(guān)系四周的造價(jià)為80元/平方米，中間的兩塊隔板的造價(jià)為40元/平方米，倉庫頂?shù)脑靸r(jià)為260元/平方米，寫出y關(guān)于x的解析式，然后利用均值不等式進(jìn)行放縮，求出最小值；
（Ⅱ）根據(jù)題意由于地形限制，該倉庫的寬不能超過15米，x有限制范圍，此時(shí)可以對y進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再求出最小值；
解答：解：（Ⅰ）設(shè)寬為x米，長為米，總造價(jià)為y，
y=2（x+）×5×80+2x×5×40+260×600
=（3x+）×400+156000≥400×2+156000=204000，
當(dāng)且僅當(dāng)3x=，即x=20時(shí)造價(jià)最低為：204000元；
（Ⅱ）∵x∈（0，15]，y′=400（3-）＜0，
∴函數(shù)y=（3x+）×400+156000在（0，15]上單調(diào)遞減，
∴x=15時(shí)，y_min=206000元；
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了建立函數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最值的能力，同時(shí)考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．