Question

某地方政府在某地建一座橋，兩端的橋墩相距m米，此工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩（包括兩端的橋墩）．經預測，一個橋墩的費用為256萬元，相鄰兩個橋墩之間的距離均為x，且相鄰兩個橋墩之間的橋面工程費用為(1+

x

)x萬元，假設所有橋墩都視為點且不考慮其它因素，記工程總費用為y萬元．
（1）試寫出y關于x的函數關系式；
（2）當m=1280米時，需要新建多少個橋墩才能使y最小？

Answer 1

分析：（1）根據題意設出橋墩和橋面工程量，然后根據題意建立工程總費用與工程量的函數關系．
（2）當m=1280米時，代入已知函數表達式，求出此時的函數表達式，并求導，根據導數與函數單調性的關系求出最值以及此時x的值．

解答：解：根據題意，
需要建(

m

x

+1)個橋墩和

m

x

段橋面工程，
（1）y=256(

m

x

+1)+

m

x

(1+

x

)x=m(

x

+

256

x

)+m+256  (x＞0，

m

x

∈N*)
（2）當m=1280時，y=1280(

x

+

256

x

)+1536，
y′=1280(

1

2 x

-

256

x2

)，
令y′=0得x=64，
當0＜x＜64時，y′＜0；
當x＞64時，y′＞0．
所以當x=64時，
y有最小值16896，
此時要建21個橋墩．
故：需要建21個橋墩才能使y最�。�

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，通過對實際問題的分析，構造數學模型從而解決問題．本題需要構建一個工程總費用與工程量的函數關系．并注明取值范圍．需要對知識熟練的掌握并應用，屬于基礎題．