Question

安徽蔬博會期間，某投資商到和城開發區投資72萬元建一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元．從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元，設f（n）表示第n年的純利潤總和（f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額）該廠從第幾年開始盈利？
若干年后，該投資商準備開發新項目，對該廠有兩種處理方案：
①年平均利潤達到最大時，以48萬元出售該廠．
②純利潤總和達到最大時，以16萬元出售該廠．
請您幫他決策一下，哪種方案更合算．

Answer 1

分析：（1）每年的支出構成一個等差數列，每年的收入是一個常數列，故函數關系可用數列的求和公式得到．
（2）對兩種決策進行具體的比較，以數據來確定那一種方案較好．

解答：解：（1）依題意可得f（n）=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-72=-2n²+40n-72
由f（n）＞0，即-2n²+40n-72＞0
解得2＜n＜18
故從第三年開始贏利．
（2）方案①年平均純利潤

f(n)

n

=40-2（n+

36

n

）≤16
當且僅當n=6時等號成立
故方案①共獲利6×16+48=144（萬元）此時n=6．（9分）
方案②f（n）=-2（n-10）²+128當且僅當n=10時，最大值為128萬元，故方案②共獲利128+16=144（萬元）
故比較兩種方案，獲利相同，但方案①只需6年而方案②需10年，
投資商選擇方案①更合算．（13分）

點評：考查數列求和的知識，解一元二次不等式，對決策方案進行研討的方法．