Question

已知

i

，

j

為互相垂直的單位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=-

i

+λ

j

，且

a

與

b

的夾角為鈍角，則實數λ的取值范圍是

(-

1

2

，2)∪(2，+∞)

．

Answer 1

分析：由題意可得：

i

•

i

=1，

j

•

j

=1，

i

•

j

=0，由

a

與

b

的夾角為鈍角可得

a • b ＜0 b ≠μ a

，再代入向量解不等式即可得到答案．

解答：解：由題意可得：

i

和

j

是兩個互相垂直的單位向量，
所以 

i

•

i

=1，

j

•

j

=1，

i

•

j

=0．
又因為

a

=

i

-2

j

，

b

=-

i

+λ

j

，

a

與

b

的夾角為鈍角，
所以

a • b ＜0 b ≠μ a

，
所以 

a

•

b

=(

i

-2

j

)•(-

i

+λ

j

)=-1-2λ＜0，并且λ≠2
所以λ＞-

1

2

，并且λ≠2，
所以實數λ的取值范圍是 (-

1

2

，2)∪(2，+∞)．
故答案為：(-

1

2

，2)∪(2，+∞)．

點評：本題主要考查利用向量的數量積表示解決兩個向量的夾角問題，當

a

與

b

的夾角為鈍角時，可得

a

•

b

＜0即可得到關于λ的不等式，但是學生容易忽略兩個向量共線并且反向的情況；當

a

與

b

的夾角為銳角時，可得

a

•

b

＞0即可得到關于λ的不等式，但是學生容易忽略兩個向量共線并且同向的情況．