Question

已知

i

，

j

為互相垂直的單位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，且

a

與

b

的夾角為銳角，則實數λ的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，

  1

  2

  ）
• B、（-2，

  2

  3

  ）∪（

  2

  3

  ，+∞）
• C、（-∞，-2）∪（-2，

  1

  2

  ）
• D、（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：由已知中

i

，

j

為互相垂直的單位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，我們可以計算出

a

•

b

，再由

a

與

b

的夾角為銳角，可以構造關于λ的不等式組，解不等式組即可得到答案．

解答：解：∵

i

，

j

為互相垂直的單位向量，
∴

i

•

i

=1，

j

•

j

=1，

i

•

j

=0
又∵

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，
∴

a

•

b

=（

i

-2

j

）•（

i

+λ

j

）+1-2λ，
若

a

與

b

的夾角為銳角，
則1-2λ＞0，故λ＜

1

2

但當λ=-2時，

a

=

b

=

i

-2

j

，此時

a

與

b

的夾角為0
故實數λ的取值范圍是（-∞，-2）∪（-2，

1

2

）
故選C

點評：本題考查的知識點是數量積表示兩個向量的夾角，其中根據

a

與

b

的夾角為銳角，數量積大于0，構造關于λ的不等式組，是解答的關鍵，但本題易忽略λ=-2時，

a

=

b

=

i

-2

j

，此時

a

與

b

的夾角為0，而錯選A．