Question

（2011•浙江）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（1）證明：AP⊥BC；
（2）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A﹣MC﹣β為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析    （2）存在，3

以O為原點，以AD方向為Y軸正方向，以射線OP的方向為Z軸正方向，建立空間坐標系，
則O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）
（1）則=（0，3，4），=（﹣8，0，0）
由此可得•=0
∴⊥
即AP⊥BC
（2）設=λ，λ≠1，則=λ（0，﹣3，﹣4）
=+=+λ=（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）
=（﹣4，5，0），=（﹣8，0，0）
設平面BMC的法向量=（a，b，c）
則

令b=1，則=（0，1，）
平面APC的法向量=（x，y，z）
則
即
令x=5
則=（5，4，﹣3）
由=0
得4﹣3=0
解得λ=
故AM=3
綜上所述，存在點M符合題意，此時AM=3