Question

【題目】如圖，△ABC的外接圓O的直徑為AB，CD⊥平面ABC，BE∥CD．

（1）求證：平面ADC⊥平面BCDE；

（2）試問在線段DE和BC上是否分別存在點M和F，使得平面OMF∥平面ACD？若存在，確定點M和點F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析.

【解析】

（1）推導出AC⊥BC，AC⊥DC，從而AC⊥平面BCDE，由此能求出平面ADC⊥平面BCDE．

（2）分別存在點M和F，使得平面OMF∥平面ACD，取BC中點M，DE中點F，連結OM，MF，推導出OM∥AC，MF∥CD，由此推導出在線段DE和BC上存在中點M和F，平面OMF∥平面ACD．

證明：（1）∵△ABC的外接圓O的直徑為AB，CD⊥平面ABC，BE∥CD，

∴AC⊥BC，AC⊥DC，

∵BC∩DC=C，

∴AC⊥平面BCDE，

∵AC平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCDE．

（2）分別存在點M和F，使得平面OMF∥平面ACD，

取BC中點M，DE中點F，連結OM，MF，

∵O是AB的中點，∴OM∥AC，MF∥CD，

∵AC∩CD=C，OM∩MF=M，

AC、CD平面ACD，OM，MF平面OMF，

∴在線段DE和BC上存在中點M和F，平面OMF∥平面ACD．