Question

已知函數f(x)＝lnx－mx（mR）．
（1）若曲線y＝f(x)過點P(1，－1)，求曲線y＝f(x)在點P處的切線方程；
（2）求函數f(x)在區間[1，e]上的最大值；
（3）若函數f(x)有兩個不同的零點x₁，x₂，求證：x₁x₂＞e²．

Answer 1

（1）;（2）①當時，；②當時，
③當時，;（3）詳見解析．

試題分析：（1）根據題意首先由點在曲線上，運用待定系數的方法求出，再由切線與導數的關系即可求出切線方程為;（2）對函數求導可得：，分析m對導數的影響，可見要進行分類討論：①當時，，所以函數在上單調遞增，利用單調性可求出最大值;②當，即時，，所以函數在上單調遞增，利用單調性可求出最大值;③當，即時，導數有下有負，列表可求出函數的最大值;④當，即時，，所以函數在上單調遞減，利用單調性可求出最大值;（3）顯然兩零點均為正數，故不妨設，由零點的定義可得：，即，觀察此兩式的結構特征可相加也可相減化簡得：，現在我們要證明，即證明，也就是．又因為，所以即證明，即．由它的結構可令＝t，則，于是．構造一新函數，將問題轉化為求此函數的最小值大于零，即可得證．
試題解析：（1）因為點在曲線上，所以，解得．
因為，所以切線的斜率為0，所以切線方程為．             3分
（2）因為．
①當時，，所以函數在上單調遞增，則．
②當，即時，，所以函數在上單調遞增，則                              5分
③當，即時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
則．                                      7分
④當，即時，，所以函數在上單調遞減，則               9分
綜上，①當時，；
②當時，
③當時，．                        10分
（3）不妨設．因為，所以，
可得．
要證明，即證明，也就是．
因為，所以即證明，即．               12分
令＝t，則，于是．
令，則．
故函數在上是增函數，所以，即成立．
所以原不等式成立．                                              16分