Question

若函數f（x），g（x）分別是R上的奇函數、偶函數，且滿足f(x)-g(x)=(x+

1

2

)2+

1

x

，則當1＜x₁＜x₂時，有（　　）

A．g（1）＜f（x₁）＜f（x₂）

B．g（1）＜f（x₂）＜f（x₁）

C．f（x₁）＜g（1）＜f（x₂）

D．f（x₁）＜f（x₂）＜g（1）

Answer 1

分析：由令x=-x代入f(x)-g(x)=(x+

1

2

)2+

1

x

，再由函數的奇偶性化簡，聯立方程求出f（x），g（x），再求出
g（1），利用基本不等式求出f（x）的范圍，再由f（x）的單調性比較三者的大小關系．

解答：解：∵f(x)-g(x)=(x+

1

2

)2+

1

x

   ①，
令x=-x代入①得：f(-x)-g(-x)=(-x+

1

2

)2-

1

x

，
∵f（x），g（x）分別是R上的奇函數、偶函數，
∴-f(x)-g(x)=(-x+

1

2

)2-

1

x

   ②，
由①②得，f(x)=x+

1

x

-

1

4

，g(x)=-x2-

1

2

，
則g(1)=-1-

1

2

=-

3

2

，
∵當x＞0時，f(x)=x+

1

x

-

1

4

≥2-

1

4

=

7

4

當且僅當x=1時取等號，且在（1，+∞）上遞增，
∴1＜x₁＜x₂時，有f（x₂）＞f（x₁）＞f（1）=

7

4

，
則g（1）＜f（x₁）＜f（x₂），
故選A．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性綜合應用，以及方程思想求函數的解析式，屬于中檔題．