Question

已知函數f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若函數f（x）與g（x）的圖象的一個公共點恰好在x軸上，求a的值；
（Ⅱ）若函數f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，試問：△OAB的面積S有沒有最值？如果有，求出最值及所對應的a的值；如果沒有，請說明理由．
（Ⅲ）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的兩根，且滿足0＜p＜q＜

1

a

，證明：當x∈（0，p）時，g（x）＜f（x）＜p-a．

Answer 1

分析：（1）若函數f（x）與g（x）的圖象的一個公共點恰好在x軸上，說明函數f（x）與g（x）有共同的零點，即g（x）的零點也在函數f（x）的圖象上，代入易求出a值．
（2）若函數f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，則將直線方程代入拋物線方程后，對應的二次方程有兩不等的實數根，再將△OAB的面積函數表示出來，根據函數的性質，易得最值及對應的a值．
（3）綜合零點的性質和不等式的性質，不難證明當x∈（0，p）時，g（x）＜f（x）＜p-a

解答：解：（Ⅰ）設函數g（x）圖象與x軸的交點坐標為（a，0），
又∵點（a，0）也在函數f（x）的圖象上，
∴a³+a²=0．
而a≠0，
∴a=-1
（Ⅱ）依題意，f（x）=g（x），即ax²+ax=x-a，
整理，得ax²+（a-1）x+a=0，①
∵a≠0，函數f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，
∴△＞0，即△=（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1=（3a-1）（-a-1）＞0．
∴-1＜a＜

1

3

且a≠0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，由①得，
x₁•x₂=1＞0，x1+x2=-

a-1

a

．
設點o到直線g（x）=x-a的距離為d，
則d=

|-a|

2

，|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

|x1-x2|．
∴S_△OAB=

1

2

1+k2

|x1-x2|•

|-a|

2

=

1

2

-3a2-2a+1

=

1

2

-3(a+ 1 3 )2+ 4 3

．
∵-1＜a＜

1

3

且a≠0，
∴當a=-

1

3

時，S_△OAB有最大值

3

3

，S_△OAB無最小值．
（Ⅲ）由題意可知?f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）．
∵0＜x＜p＜q＜

1

a

，
∴a（x-p）（x-q）＞0，
∴當x∈（0，p）時，f（x）-g（x）＞0，
即f（x）＞g（x）．
又f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1），
x-p＜0，?且ax-aq+1＞1-aq＞0，
∴f（x）-（p-a）＜0，
∴f（x）＜p-a，
綜上可知，g（x）＜f（x）＜p-a．

點評：本題考查的主要知識點是函數零點的性質，即兩個函數的圖象的交點在x軸上，則說明兩個函數有共同的零點，即一個函數的零點也在另一個函數的圖象上，應該滿足另一個函數的方程；若函數在（a，b）上有零點，則f（a）•f（b）＜0．