Question

已知函數f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（1）若函數f（x）與g（x）的圖象的一個公共點恰好在x軸上，求a的值；
（2）若函數f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，試問：△OAB的面積S有沒有最值？如果有，求出最值及所對應的a的值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設函數g（x）圖象與x軸的交點坐標為（a，0），而點（a，0）也在函數f（x）的圖象上，代入函數f（x）的解析式建立等式，解之即可求出a的值；
（2）依題意，f（x）=g（x），函數f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，則△＞0，求出a的范圍，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出AB以及點O到直線g（x）=x-a的距離，從而求出三角形的面積關于a的函數，根據a的范圍求出面積的最值．

解答：解：（1）設函數g（x）圖象與x軸的交點坐標為（a，0），
又∵點（a，0）也在函數f（x）的圖象上，∴a³+a²=0．
而a≠0，∴a=-1．
（2）依題意，f（x）=g（x），即ax²+ax=x-a，
整理，得  ax²+（a-1）x+a=0，①
∵a≠0，函數f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，
∴△＞0，即△=（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1=（3a-1）（-a-1）＞0．
∴-1＜a＜

1

3

且a≠0．…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，由①得，x₁•x₂=1＞0，x1+x2=-

a-1

a

．
設點O到直線g（x）=x-a的距離為d，
則d=

|-a|

2

，|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

|x1-x2|．
∴S_△OAB=

1

2

1+k2

|x1-x2|•

|-a|

2

=

1

2

-3a2-2a+1

=

1

2

-3(a+ 1 3 )2+ 4 3

．
∵-1＜a＜

1

3

且a≠0，∴當a=-

1

3

時，S_△OAB有最大值

3

3

，S_△OAB無最小值．

點評：本題主要考查了三角形面積的度量，以及利用二次函數研究函數的最值，屬于中檔題．