Question

在一個六角形體育館的一角MAN內，用長為a的圍欄設置一個運動器材儲存區域（如圖所示），已知∠A=120°，B是墻角線AM上的一點，C是墻角線AN上的一點．
（1）若BC=a=20，求儲存區域面積的最大值；
（2）若AB=AC=10，在折線MBCN內選一點D，使BD+DC=20，求四邊形儲存區域DBAC的最大面積．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（1）設AC=x，AB=y，（x，y為正數），由余弦定理，結合三角形的面積公式，利用基本不等式可得儲存區域面積的最大值；
（（2）只考慮三角形BCD的面積變化，點D的軌跡是一個橢圓，B、C是其焦點，結合橢圓的知識得結果．

解答： 解：（1）設AB=x，AC=y，x＞0，y＞0．
由20²=x²+y²-2xycos120°≥2xy-2xycos120°，
得xy≤

202

2-2cos120°

=

202

4sin260°

．
∴S=

1

2

xysin120°≤

1

2

•

202

4sin260°

•2sin60°cos60°=

202cos60°

4sin60°

=

202

4tan60°

=

100 3

3

．
即四邊形DBAC面積的最大值為

100 3

3

，當且僅當x=y時取到．
（2）由DB+DC=20，知點D在以B，C為焦點的橢圓上，
∵S△ABC=

1

2

×10×10×

3

2

=25

3

，
∴要使四邊形DBAC面積最大，只需△DBC的面積最大，此時點D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點．
由BC=10

3

，得短半軸長b=5，S_△BCD面積的最大值為

1

2

×10

3

×5=25

3

．
因此，四邊形ACDB面積的最大值為50

3

．

點評：本題為基本不等式和橢圓知識的結合，數列掌握基本不等式和橢圓的定義是解決問題關鍵，屬中檔題．