Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

3

，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC．
（1）求證：FG∥面BCD；
（2）設四棱錐D-ABCE的體積為V，其外接球體積為V′，求V：V′的值．

Answer 1

分析：（1）取AB中點H，連接GH，FH，利用三角形中位線定理，我們易判斷GH∥BD，FH∥BC，進而根據面面平行的判定定理，得到面FHG∥面BCD，結合面面平等的性質，即可得到結論．
（2）由已知中AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

3

，代入棱錐體積公式，易求出棱錐的體積，又E點三條棱互相垂直，故棱錐的外接球半徑與以AE，CD，DE為棱長的長方體的外接球半徑相等，求出外接球半徑后，即可得到V：V′的值．

解答：解：
（1）證明：取AB中點H，連接GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥面BCD，FH∥面BCD
∴面FHG∥面BCD，
∴GF∥面BCD（6分）
（2）V=

1

3

×2×1×

3

=

2

3

3

又外接球半徑R=

1

2

12+22+( 3 )2

=

2

∴V′=

4

3

π•2

2

=

8 2

3

π
∴V：V′=

6

8π

（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平等的判定及棱錐和球的體積，其中根據E點三條棱互相垂直，故棱錐的外接球半徑與以AE，CD，DE為棱長的長方體的外接球半徑相等，求出外接球半徑是解答本題的關鍵點．