Question

如圖，已知直角梯形ABCD的上底BC=

2

，BC∥AD，BC=

1

2

ADCD⊥AD，PDC⊥，平面平面ABCD，△PCD是邊長為2的等邊三角形．
（1）證明：AB⊥PB；
（2）求二面角P-AB-D的大小．
（3）求三棱錐A-PBD的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知中中在直角梯形ABCD中，因為AD=2

2

，BC=

2

，CD=2，我們易求出AB值，雙由為BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，則BC⊥平面PDC，再由勾定理得到，我們可得AB⊥PB；
（2）設線段DC的中點為E，連接PE，EB，結合△PCD是等邊三角形，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，我們易得AB⊥PE，AB⊥PB，則∠PBE就是二面角P-AB-D的平面角，解△PBE即可得到答案．
（3）V_A-PBD=V_P-ABD，求出棱錐的底面面積及高，代入棱錐體積公式即可得到答案．

解答：證明：（1）在直角梯形ABCD中，因為AD=2

2

，BC=

2

，CD=2
所以AB=

(AD-BC)2+CD2

=

6

．
因為BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，所以BC⊥平面PDC，因此在Rt△BCP中，PB=

BC2+PC2

=

6

．
因為BC∥AD所以AD⊥平面PDC，所以在Rt△PAD中，
PA=

AD2+PD2

=

(2 2 )2+22

=

12

．
所以在△PAB中，PA²=AB²+PB²，所以AB⊥PB．
解：（2）設線段DC的中點為E，連接PE，EB
因為△PCD是等邊三角形，所以PE⊥C，
因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，所以PE⊥平面ABCD，因此AB⊥PE，由（1）知AB⊥PB，所以AB⊥平面PEB，所以AB⊥BE，因此∠PBE就是二面角P-AB-D的平面角，在Rt△PBE中，
sin∠PBE=

PE

PB

=

3

6

=

2

2

，所以∠PBE=

π

4

．
解：（3）∵V_A-PBD=V_P-ABD=

1

3

•S△ABD•PE=

1

3

×

1

2

•AD•DC•

3

=

1

3

×

1

2

×2

2

×2×

3

=

2 6

3

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，棱錐的體積，二面角平面角的求法，在求二面角時，根據三垂線定理找到二面角的平面角是解答的關鍵．