Question

已知等差數列{a_n}的首項為a，公差是b；等比數列{b_n}的首項是b，公比是a，其中a、b都是正整數，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（1）求a的值．
（2）若對于{a_n}、{b_n}，存在關系式a_m+2=b_n，試求數列{a_n}前n（n≥2）項中所有不同兩項的乘積之和．

Answer 1

分析：（1）a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，結合等差數列{a_n}的首項為a，公差是b；等比數列{b_n}的首項是b，公比是a，可得a的范圍，從而可求a的值；
（2）利用a_m+2=b_n，確定數列{a_n}的通項，從而可求數列{a_n}前n（n≥2）項中所有不同兩項的乘積之和．

解答：解：（1）∵a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃
∴a＜b＜a+b＜ab＜a+2b．
∵ab＞b，a，b都為正整數，∴a＞1
∵ab＜a+2b，∴（a-2）b＜a．
∵b＞a，∴（a-2）b＜b，即（a-3）b＜0．
∵b為正整數，∴a-3＜0，解得a＜3．
∵a∈N，∴a=2； 
（2）由（1）知a=2，則a_m=2+（m-1）b，b_n=b•2^2n-1，
∵a_m+2=b_n，∴2+（m-1）b+2=b•2^2n-1，∴b（2^2n-1-m+1）=4
∵b≥3，∴b=4
從而a_n=2+4（n-1）=4n-2；
設數列{a_n}前n（n≥2）項中所有不同兩項的乘積之和為S
因為（a₁+a₂+…+a_n）²=[

n(2+4n-2)

2

]2=4n⁴，
a12+…+an2 =16（1²+…+n²）-16（1+2+…+n）+4n=

4

3

n(4n2-1)
因為（a₁+a₂+…+a_n）²=a12+…+an2 +2S，
所以S=2n4-

2

3

n(4n2-1)．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．