Question

【題目】設是由個實數組成的有序數組，滿足下列條件：①，；②；③，

.

（Ⅰ）當時，寫出滿足題設條件的全部；

（Ⅱ）設，其中，求的取值集合；

（Ⅲ）給定正整數，求的個數.

Answer 1

【答案】(1) 詳見解析;(2) ; (3)

【解析】試題分析：

(Ⅰ)利用題中所定義的 可得 共有5個可能的值；

(Ⅱ)利用題意逐一交換元素的位置，討論可得：的取值集合為．

(Ⅲ)利用(II)中的方法結合排列組合相關結論可得給定正整數，求的個數是

試題解析：

（Ⅰ）解：，，，

，，共個．

（Ⅱ）解：首先證明，且．

在③中，令，得．由①得．

由②得．

在③中，令，得，

從而．由①得．

考慮，即，，此時為最大值．

現交換與，使得，此時．

現將逐項前移，直至．在前移過程中，顯然不變，這一過程稱為1次移位．

繼續交換與，使得，此時．

現將逐項前移，直至．在前移過程中，顯然不變，執行第2次移位．

依此類推，每次移位的值依次遞減．經過有限次移位，一定可以調整為，交替出現．

注意到為奇數，所以為最小值．

所以，的取值集合為．

（Ⅲ）解：由①、②可知，有序數組中，有個，個．

顯然，從中選個，其余為的種數共有種．下面我們考慮這樣的數組中有多少個不滿足條件③，記該數為．

如果不滿足條件③，則一定存在最小的正整數，使得

（ⅰ）； （ⅱ）．

將統統改變符號，

這一對應為：，

從而將變為個，個組成的有序數組．

反之，任何一個個，個組成的有序數組．由于多于的個數，所以一定存在最小的正整數，使得．

令對應為：，

從而將變為個，個組成的有序數組．

因此，就是個，個組成的有序數組的個數．

所以的個數是．