Question

設復數(shù)z滿足條件|z|=1，那么|z+

3

+i|取最大值時的復數(shù)z為

 

．

Answer 1

分析：復數(shù)的模轉(zhuǎn)化為距離，|z|=1是單位圓上的點，|z+

3

+i|是單位圓上點與(-

3

，-1)的距離的最大值，
可求解答案．

解答：解：復數(shù)z滿足條件|z|=1，它是復平面上的單位圓，那么|z+

3

+i|表示單位圓上的點到(-

3

，-1)的距離，
要使此距離取最大值的復數(shù)z，就是(-

3

，-1)和）（0，0）連線和單位圓在第一象限的交點．
∵點(-

3

，-1)到原點距離是2．單位圓半徑是1，此連線與單位圓在第一象限交點是(

3

2

，

1

2

)．
故答案為：

3

2

+

1

2

i

點評：本題考查復數(shù)的模的幾何意義，復數(shù)和復平面內(nèi)的點的一一對應，三角形相似，數(shù)形結合的思想，難度較大．
本題也可利用三角代換、復數(shù)輻角主值求解．