Question

已知函數．

(Ⅰ)求函數的單調區間；

(Ⅱ)設,若在上至少存在一點，使得成立，求的范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)在，上單調遞減，在上單調遞增；(Ⅱ )的取值范圍為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對求導來判斷單調區間；（Ⅱ）在上至少存在一點，使得成立，即不等式在上有解，原不等式整理得：（），轉化為求在的最小值問題．

試題解析：（Ⅰ）解： ．，解得：在，上單調遞減，在上單調遞增；

（Ⅱ），在上至少存在一點，使得成立，即：不等式在有解，也即：（）有解，記，則，，令，，，，在單調遞增，，即在上恒成立，因此，在上，在上，即在單調遞減，在單調遞增，，所以，的取值范圍為．

方法二：令，則，

即，

①當時，在上為增函數，在上為減函數，由題意可知，，；

②當時，在上為增函數，在，上為減函數，，由題意可知，；

③當時，在上為增函數，在，上為減函數，，由題意可知，，恒成立，此時不合題意．

綜上所述，的取值范圍為

考點：1、利用導數求單調區間及判斷單調性，2、帶參數不等式成立問題，3、利用導數求最值，．