Question

在四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．
（Ⅰ）求證：BC⊥AD；
（Ⅱ）若點D到平面ABC的距離等于3，求二面角A-BC-D的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC中點O，連接AO、DO，根據正三角形可知AO⊥BC，DO⊥BC，而AO∩DO=O，滿足線面垂直的判定定理，則BC⊥平面AOD，而AD?平面AOD，根據線面垂直的性質可知BC⊥AD．
（Ⅱ）根據二面角平面角的定義可知∠AOD為二面角A-BC-D的平面角，過點D作DE⊥AO，垂足為E，易證線段DE的長為點D到平面ABC的距離，在Rt△DEO中，求出此角的正弦值即可．

解答：證明：（Ⅰ）取BC中點O，連接AO、DO．
因為△ABC、△BCD都是邊長為4的正三角形，
所以AO⊥BC，DO⊥BC，
且AO∩DO=O．
所以BC⊥平面AOD，
又AD?平面AOD．
所以BC⊥AD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠AOD為二面角A-BC-D的平面角，
設∠AOD=α，則過點D作DE⊥AO，垂足為E．∵BC⊥平面ADO，且BC?平面ABC，
∴平面ADO⊥平面ABC，又平面ADO∩平面ABC=AO，
∴DE⊥平面ABC，
∴線段DE的長為點D到平面ABC的距離，即DE=3．
又DO=

3

2

BD=2

3

，
在Rt△DEO中，sinα=

DE

DO

=

3

2

，
故二面角A-BC-D的正弦值為

3

2

．

點評：本題主要考查了線面垂直的性質，以及二面角的度量，同時考查了推理能力和計算能力，轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．