Question

在四面體ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，則四面體ABCD的外接球的半徑為

3

．

Answer 1

分析：設四面體ABCD的外接球球心為O，則O在過△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂線上，且點N為△ABD的中心．設P，M分別為AB，CD的中點，則N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD，從而可求DM，MN，進而可求四邊形DMON的外接圓的直徑，即可求得球O的半徑．

解答：解：設四面體ABCD的外接球球心為O，則O在過△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂線上．
由題設知，△ABD是正三角形，則點N為△ABD的中心．
設P，M分別為AB，CD的中點，則N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．
因為∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，設CD與平面ABD所成角為θ，
∴cosθ=

1

3

，sinθ=

2

3

．
在△DMN中，DM=

1

2

CD=1，DN=

2

3

•DP=

2

3

•

3

2

•3=

3

．
由余弦定理得MN2=12+(

3

)2-2•1•

3

•

1

3

=2，
故MN=

2

．
∴四邊形DMON的外接圓的直徑OD=

MN

sinθ

=

2

2 3

=

3

．
故球O的半徑R=

3

．
故答案為：

3

點評：本題考查四面體ABCD的外接球，考查學生的計算能力，確定四面體ABCD的外接球球心位置是關鍵．