Question

如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，且FG⊥GH，試問(wèn)截面在什么位置時(shí)其截面面積最大．

Answer 1

分析：先證明截面EFGH是平行四邊形，設(shè)AB=a，CD=b，∠FGH=α，再設(shè)FG=x，GH=y，由平面幾何知識(shí)得

x

a

=

CG

CB

  ， 

y

b

=

BG

BC

，兩式相加可得y=

b

a

（a-x）．
截面面積S=FG•GH•sinα=

bsinα

a

•x•(a-x)，再利用基本不等式可得當(dāng)E、F、G、H分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，截面面積最大．

解答：解：∵AB∥平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH，∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH．
同理可證EF∥GH，∴截面EFGH是平行四邊形．
設(shè)AB=a，CD=b，∠FGH=α （a、b、α均為定值，其中α為AB與CD所成的角）．
再設(shè)FG=x，GH=y，由平面幾何知識(shí)得

x

a

=

CG

CB

  ， 

y

b

=

BG

BC

，
兩式相加得

x

a

+

y

b

=1，即y=

b

a

（a-x）．
∴截面面積S=FG•GH•sinα=x•

b

a

(a-x)•sinα=

bsinα

a

•x•(a-x)．
∵x＞0，a-x＞0，且x+（a-x）=a為定值，∴

bsinα

a

•x•(a-x)≤

bsinα

a

•(

x+a-x

2

) 2=

ab•sinα

4

，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x，即x=

a

2

時(shí)，取等號(hào)，即截面面積最大為S=

ab

4

sinα，
即當(dāng)E、F、G、H分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，截面面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．