Question

【題目】已知橢圓的離心率為，焦距為，直線過橢圓的左焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與軸交于點是橢圓上的兩個動點,的平分線在軸上,.試判斷直線是否過定點，若過定點，求出定點坐標;若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)過定點

【解析】

(1)因為直線過橢圓的左焦點,故令,得,又因為離心率為,從而求出,又因為,求出的值,從而求出橢圓的標準方程;

(2)先求出點的坐標,設直線的方程為,聯立方程組,利用根與系數的關系,設,,得到,又因為的平分線在軸上,所以,從而求出的值,得到直線的方程為過定點坐標.

解:(1)因為直線過橢圓的左焦點,故令,得，

,解得.又,解得.

∴橢圓的標準方程為:.

(2)由(1)得,直線的方程為

令得,,即.設直線的方程為

聯立方程組,消去得,

設,,,

則直線、的斜率,

所以

的平分線在軸上,,即

又,,.

即直線的方程為,過定點.