Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，為棱的中點，.

（1）證明：平面；

（2）設二面角的正切值為，，，求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點,根據平行四邊形性質得，再根據線面平行判定定理得結論，（2）根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據向量數量積求向量夾角，最后根據線線角與向量夾角相等或互余關系確定結果.

試題解析：（1）證明：取的中點，連接，，

∵側面為平行四邊形，∴為的中點，

∴，又，∴，

∴四邊形為平行四邊形，則.

∵平面，平面，∴平面.

（2）解：過作于，連接，

則即為二面角的平面角.

∵，，∴.

以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，

則，，.

∵，∴，

∴異面直線與所成角的余弦值為.