Question

如果在區(qū)間[1，2]上函數(shù)f（x）=x²+px+q與g（x）=x+

1

x2

在同一點(diǎn)取相同的最小值，那么f（x）在該區(qū)間上的最大值是（　　）

• A．4+

  11

  2

  3	2

  +

  3	4

• B．4-

  5

  2

  3	2

  +

  3	4

• C．1-

  1

  2

  3	2

  +

  3	4

• D．以上答案都不對(duì)

Answer 1

分析：在區(qū)間[1，2]上函數(shù)g（x）=x+

1

x2

≥3

3	1 4

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

3	2

時(shí)，取等號(hào)．故在區(qū)間[1，2]上函數(shù)f（x）=x²+px+q在x=

3	2

時(shí)對(duì)最小值3

3	1 4

，由此能求出x=2時(shí)，f（x）在該區(qū)間上的最大值．

解答：解：在區(qū)間[1，2]上函數(shù)g（x）=x+

1

x2

=

x

2

+

x

2

+

1

x2

≥3

3	x 2 • x 2 • 1 x2

=3

3	1 4

，
當(dāng)且僅當(dāng)

x

2

=

1

x2

，即x=

3	2

時(shí)，取等號(hào)．
∴在區(qū)間[1，2]上函數(shù)f（x）=x²+px+q在x=

3	2

時(shí)對(duì)最小值3

3	1 4

，
∴

- p 2 = 3 2 4q-p2 4 =3 3 1 4

，
解得p=-2

3	2

，q=3

3	1 4

+

3	4

．
∴x=2時(shí)，f（x）在該區(qū)間上的最大值=4-4

3	2

+3

3	1 4

+

3	4

=4-

5

2

3	2

+

3	4

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意均值定理的合理運(yùn)用．