Question

【題目】已知函數 ， ．
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）在x∈[1，e2]時的最值（參考數據：e2≈7.4）；
（Ⅱ）若x∈（0，+∞），有f（x）+g（x）≤0恒成立，求實數a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵當a=2時， ，

∴ ，x＞0，

當1＜x＜2時，f′（x）＞0，得﹣1＜x＜2，當2＜x＜e2時，f′（x）＜0，

∴函數f（x）在[1，2]為增函數，在[2，e2]為減函數．

∴f（x）max=f（2）=2ln2．

．

（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x）=alnx﹣x+1，則 ，

（i）當a≤0時，h（x）在（0，+∞）上為減函數，而h（1）=0，

∴h（x）≤0在區間x∈（0，+∞）上不可能恒成立，因此a≤0不滿足條件．

（ii）當a＞0時，h（x）在（0，a）上遞增，在（a，+∞）上遞減，

∴h（x）max=h（a）=alna﹣a+1．

∵h（x）≤0在x∈（0，+∞）恒成立，∴h（x）max≤0．即alna﹣a+1≤0．

令g（a）=alna﹣a+1，（a＞0），則g'（a）=lna，

∴g（a）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，

∴g（a）min=g（1）=0，故a=1

【解析】（Ⅰ）當a=2時，求出 ，x＞0，由此利用導數性質能求出f（x）在x∈[1，e2]時的最值．（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x）=alnx﹣x+1，則 ，當a≤0時，不滿足條件；當a＞0時，h（x）max=h（a）=alna﹣a+1≤0，令g（a）=alna﹣a+1，（a＞0），則g'（a）=lna，g（a）min=g（1）=0，由此能求出a．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．