Question

選做題 (幾何證明選講)如圖,AB是⊙O的直徑,C、F為⊙O上的點,CA是∠BAF的角平分線,過點C作CD⊥AF交AF的延長線于D點,作CM⊥AB,垂足為點M.

(1)求證:DC是⊙O的切線;

(2)求證:AM·MB=DF·DA.

Answer 1

證明:(1)連結OC,∴∠OAC=∠OCA.又∵CA是∠BAF的角平分線,∴∠OAC=∠FAC.

∴∠FAC=∠OCA.∴OC∥AD.∵CD⊥AD,∴CD⊥OC,即CD是⊙O的切線.

(2)連結BC,則在Rt△ACB中,CM²=AM·MB.∵CD是⊙O的切線,

∴CD²=DF·DA.又Rt△AMC≌Rt△ADC,∴CM=CD.∴AM·MB=DF·DA.